已知函数 $f(x) = x^3$，$g(x) = x + \sqrt{x}$.

(1) 求函数 $h(x) = f(x) - g(x)$ 的零点个数，并说明理由； (2) 设数列 $\{a_{n}\}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）满足 $a_{1} = a$（$a > 0$），$f(a_{n+1}) = g(a_{n})$，证明：存在常数 $M$，使得对于任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，都有 $a_{n} \leqslant M$.