我们把由半椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$x \geqslant 0$）与半椭圆 $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1$（$x \leqslant 0$）合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^2 = b^2 + c^2$，$a > 0$，$b > c > 0$. 如图，设点 $F_0$，$F_1$，$F_2$ 是相应椭圆的焦点，$A_1$，$A_2$ 和 $B_1$，$B_2$ 分别是“果圆”与 $x$，$y$ 轴的交点，$M$ 是线段 $A_1A_2$ 的中点.

(1) 若 $\triangle F_0F_1F_2$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，求该“果圆”的方程； (2) 设 $P$ 是“果圆”的半椭圆 $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1$（$x \leqslant 0$）上任意一点. 求证：当 $|PM|$ 取得最小值时，$P$ 在点 $B_1$，$B_2$ 或 $A_1$ 处； (3) 若 $P$ 是“果圆”上任意一点，求 $|PM|$ 取得最小值时点 $P$ 的横坐标.