在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{10}}{5}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）. 点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $AD \perp AB$，直线 $BD$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M$，$N$ 两点.

(i) 设直线 $BD$，$AM$ 的斜率分别为 $k_{1}$，$k_{2}$，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_{1} = \lambda k_{2}$，并求出 $\lambda$ 的值； (ii) 求 $\triangle OMN$ 面积的最大值.