已知以 $a_{1}$ 为首项的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：

(1) 当 $a_{1} = 1$，$c = 1$，$d = 3$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 当 $0 < a_{1} < 1$，$c = 1$，$d = 3$ 时，试用 $a_{1}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前$100$项的和 $S_{100}$； (3) 当 $0 < a_{1} < \frac{1}{m}$ （$m$ 是正整数），$c = \frac{1}{m}$，正整数 $d \geqslant 3m$ 时，求证：数列 $a_{2} - \frac{1}{m}$，$a_{3m+2} - \frac{1}{m}$，$a_{6m+2} - \frac{1}{m}$，$a_{9m+2} - \frac{1}{m}$ 成等比数列当且仅当 $d = 3m$.