若数列 $A_{n}$：$a_{1}$，$a_{2}$，$\cdots$，$a_{n}$（$n \geqslant 2$）满足 $\left|a_{k+1} - a_{k}\right| = 1$（$k = 1$，$2$，$\cdots$，$n-1$），则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列. 记 $S(A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$.

(1) 写出一个 $E$ 数列 $A_{n}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$； (2) 若 $a_1 = 12$，$n = 2000$，证明：$E$ 数列 $A_n$ 是递增数列的充要条件是 $a_n = 2011$； (3) 在 $a_1 = 4$ 的 $E$ 数列 $A_n$ 中，求使得 $S(A_n) = 0$ 成立的 $n$ 的最小值.