设函数 $f(x) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x$（$n \in \mathbf{N}$，且 $n > 1$，$x \in \mathbf{R}$）.

(1) 当 $x = 6$ 时，求 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x$ 的展开式中二项式系数最大的项； (2) 对任意的实数 $x$，证明 $\frac{f(2x) + f(2)}{2} > f'(x)$（$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数）； (3) 是否存在 $a \in \mathbf{N}$，使得 $an < \sum_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < (a + 1)n$ 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.