给定无穷数列 $\{a_n\}$，若无穷数列 $\{b_n\}$ 满足：对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，都有 $\lvert b_n-a_n\rvert\le1$，则称 $\{b_n\}$ 与 $\{a_n\}$“接近”.

(1) 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $\frac12$ 的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in\mathbf{N}^*$. 判断数列 $\{b_n\}$ 是否与 $\{a_n\}$ 接近，并说明理由； (2) 设数列 $\{a_n\}$ 的前四项为：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=8$，$\{b_n\}$ 是一个与 $\{a_n\}$ 接近的数列，记集合 $M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}$，求 $M$ 中元素的个数 $m$； (3) 已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列. 若存在数列 $\{b_n\}$ 满足：$\{b_n\}$ 与 $\{a_n\}$ 接近，且在 $b_2-b_1$，$b_3-b_2$，$\ldots$，$b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个为正数，求 $d$ 的取值范围.