已知实数 $x_1$，$x_2$，$y_1$，$y_2$ 满足：$x_1^2+y_1^2=1$，$x_2^2+y_2^2=1$，$x_1x_2+y_1y_2=\frac12$，则 $\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2}$ 的最大值为______.

设常数 $t>2$. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F(2,0)$，直线 $l:x=t$，曲线 $\Gamma:y^2=8x$（$0\le x\le t$，$y\ge0$），$l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $\Gamma$ 交于点 $B$. $P$，$Q$ 分别是曲线 $\Gamma$ 与线段 $AB$ 上的动点.

(1) 用 $t$ 表示点 $B$ 到点 $F$ 的距离； (2) 设 $t=3$，$\lvert FQ\rvert=2$，线段 $OQ$ 的中点在直线 $FP$ 上，求 $\triangle AQP$ 的面积； (3) 设 $t=8$，是否存在以 $FP$，$FQ$ 为邻边的矩形 $FPEQ$，使得点 $E$ 在 $\Gamma$ 上？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.