设 $f(x)$，$g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的两个周期函数，$f(x)$ 的周期为 $4$，$g(x)$ 的周期为 $2$，且 $f(x)$ 是奇函数. 当 $x\in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}$， 其中 $k>0$. 若在区间 $(0,9]$ 上，关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有 $8$ 个不同的实数根，则 $k$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$ \end{answer}

如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$AB$ 是圆 $O$ 的直径）. 规划在公路 $l$ 上选两个点 $P$，$Q$，并修建两段直线型道路 $PB$，$QA$. 规划要求：线段 $PB$，$QA$ 上的所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径. 已知点 $A$，$B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C$，$D$ 为垂足），测得 $AB=10$，$AC=6$，$BD=12$（单位：百米）.

(1) 若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长； (2) 在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米），求当 $d$ 最小时，$P$，$Q$ 两点间的距离.

定义首项为 $1$ 且公比为正数的等比数列为“$M$－数列”.

(1) 已知等比数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）满足：$a_2a_4=a_5$，$a_3-4a_2+4a_1=0$，求证：数列 $\{a_n\}$ 为“$M$－数列”； (2) 已知数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，$\dfrac1{S_n}=\dfrac2{b_n}-\dfrac2{b_{n+1}}$，其中 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

(i) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； (ii) 设 $m$ 为正整数，若存在“$M$－数列”$\{c_n\}$，对任意正整数 $k$，当 $k\le m$ 时，都有 $c_k\le b_k\le c_{k+1}$ 成立，求 $m$ 的最大值.