已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两条渐近线分别为 $l_1: y = 2x$，$l_2: y = -2x$.

(1) 求双曲线 $E$ 的离心率； (2) 如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_1$，$l_2$ 于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 分别在第一，四象限），且 $\triangle OAB$ 的面积恒为 $8$，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由.