已知斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）相交于 $B$，$D$ 两点，且 $BD$ 的中点为 $M(1,3)$.

(1) 求 $C$ 的离心率； (2) 设 $C$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，$|DF| \cdot |BF| = 17$，证明：过 $A$，$B$，$D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切.