已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 $F(2,0)$，且两条准线间的距离为 $\lambda$（$\lambda > 4$）.

(1) 求椭圆的方程； (2) 若存在过点 $A(1,0)$ 的直线 $l$，使点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点在椭圆上，求 $\lambda$ 的取值范围.

\begin{solution} 设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，半焦距为 $c$，离心率为 $e$. 因为焦点为 $F(2,0)$，所以 $c=2$，且 $a^2-b^2=c^2=4$. 椭圆的两条准线分别为 $x=\frac{a}{e}$ 和 $x=-\frac{a}{e}$，故 $\lambda=\frac{2a}{e}=\frac{2a^2}{c}=a^2$. 从而 $a^2=\lambda$，$b^2=\lambda-4$.

\begin{enumerate} \item 椭圆的方程为

\item 设点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F'$. 因为直线 $l$ 经过 $A$，反射保持点到 $A$ 的距离不变，所以 $AF'=AF=1$，即 $F'$ 在圆 $\left(x-1\right)^2+y^2=1$ 上. 反过来，圆上任一点都可以取 $AF$ 与 $AF'$ 的角平分线作为反射轴（当 $F'=F$ 时取直线 $AF$），因此题设条件等价于该圆与椭圆有公共点.

由圆的方程得 $y^2=2x-x^2$，且 $0\leqslant x\leqslant2$. 代入椭圆方程，得 即 $4x^2-2\lambda x+\lambda\left(\lambda-4\right)=0$. 该方程有实根的充要条件是 结合 $\lambda>4$，可得 $4<\lambda\leqslant\frac{16}{3}$.

还需验证此范围内的根确实给出圆上的点. 当 $4<\lambda\leqslant\frac{16}{3}$ 时，方程的根为 $x=\frac{\lambda\pm\sqrt{\lambda\left(16-3\lambda\right)}}{4}$. 由 $\lambda>4$ 可知较小的根大于 $0$，而 $\lambda\left(16-3\lambda\right)\leqslant\left(8-\lambda\right)^2$，所以较大的根不超过 $2$. 因而至少有一个根属于 $[0,2]$，此时 $y^2=x\left(2-x\right)\geqslant0$，公共点确实存在. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{1}{4} x^4 + x^3 - \frac{9}{2} x^2 + cx$ 有三个极值点.

(1) 证明： $-27 < c < 5;$ (2) 若存在实数 $c$，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} 记 $g(x)=f'(x)=x^3+3x^2-9x+c$，则 $g'(x)=3\left(x+3\right)\left(x-1\right)$. 因此 $g(x)$ 在 $(-\infty,-3)$ 和 $(1,+\infty)$ 上递增，在 $(-3,1)$ 上递减，$x=-3$ 是极大值点，$x=1$ 是极小值点.

\begin{enumerate} \item 因为 $g(x)$ 是首项系数为正的三次函数，要有三个互不相同的实根，充要条件是极大值大于 $0$ 且极小值小于 $0$. 计算得 $g(-3)=c+27$，$g(1)=c-5$. 所以 $c+27>0$，$c-5<0$，即 $-27<c<5$.

\item 由第（1）问，所取的 $c$ 必须满足 $-27<c<5$. 令 $h(x)=x^3+3x^2-9x$，则 $g(x)=h(x)+c$. 因为 $h(x)-27=x^3+3x^2-9x-27=\left(x-3\right)\left(x+3\right)^2$，所以 $h(x)<27$ 当且仅当 $x<3$ 且 $x\neq-3$.

若 $f(x)$ 在 $[a,a+2]$ 上单调递减，则区间内应有 $g(x)\leqslant0$. 由于 $c>-27$，有 $g(-3)=c+27>0$，并且当 $x\geqslant3$ 时 $h(x)\geqslant27$，从而 $g(x)>0$. 因此区间 $[a,a+2]$ 既不能包含 $-3$，又必须满足 $a+2<3$. 这给出 $a<-5$ 或 $-3<a<1$.

反之，若 $a<-5$ 或 $-3<a<1$，则 $[a,a+2]\subset(-\infty,3)$ 且不含 $-3$，从而在该区间上 $h(x)<27$. 令 $M=\max_{x\in[a,a+2]}h(x)$，则 $M<27$，所以可以取 $-27<c<\min\left\{5,-M\right\}$. 此时 $c$ 满足第（1）问的条件，且对区间内任意 $x$ 有 $f'(x)=h(x)+c\leqslant M+c<0$，故 $f(x)$ 在 $[a,a+2]$ 上单调递减.

综上，$a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-5\right)\cup\left(-3,1\right)$. \end{enumerate} \end{solution}