设函数 $f(x) = x^{2} + a\ln (1 + x)$ 有两个极值点 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $x_{1} < x_{2}$.

(1) 求 $a$ 的取值范围，并讨论 $f(x)$ 的单调性. (2) 证明： $f(x_{2}) > \frac{1 - 2\ln 2}{4}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数的定义域为 $(-1,+\infty)$，且 要有两个定义域内的极值点，二次方程 $2x^{2}+2x+a=0$ 必须有两个不相等且都大于 $-1$ 的根. 其根为 又 $x_{2}=\frac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}$. 两根不相等要求 $a<\frac12$，而 $x_{1}>-1$ 要求 $\sqrt{1-2a}<1$，即 $a>0$. 因此 在定义域内 $1+x>0$，而二次式 $2x^{2}+2x+a$ 在两根外为正、两根之间为负，所以 $f(x)$ 在 $(-1,x_{1})$ 和 $(x_{2},+\infty)$ 上单调递增，在 $(x_{1},x_{2})$ 上单调递减. \item 令 $t=1+x_{2}$. 由 $x_{2}\in(-1,0)$ 且 $0<a<\frac12$，有 $\frac12<t<1$. 又因 $f'(x_{2})=0$， 于是 求导得 当 $\frac12<t<1$ 时，$1-2t<0$ 且 $\ln t<0$，故 $H'(t)>0$. 因而 \end{enumerate} \end{solution}