设函数 $a$ 为常数且 $a \in (0,1)$.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)$； (2) 若 $x_0$ 满足 $f(f(x_0)) = x_0$，但 $f(x_0) \neq x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的二阶周期点，证明：函数 $f(x)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 $x_1$，$x_2$； (3) 对于（2）中的 $x_{1}$，$x_{2}$，设 $A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)$，$B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)$，$C\left(a^{2}, 0\right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S(a)$，求 $S(a)$ 在区间 $\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right]$ 上的最大值和最小值.