(1) 设函数 $f(x) = x\log_2 x + (1 - x)\log_2(1 - x)$（$0 < x < 1$），求 $f(x)$ 的最小值； (2) 设正数 $p_1$，$p_2$，$p_3$，$\cdots$，$p_{2^n}$ 满足 $p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_{2^n} = 1$，证明 $p_1 \log_2 p_1 + p_2 \log_2 p_2 + p_3 \log_2 p_3 + \cdots + p_{2^n} \log_2 p_{2^n} \geqslant -n$.