已知函数 $f(x) = x^2 + ax + b$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$），记 $M(a, b)$ 是 $|f(x)|$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值.

(1) 证明：当 $|a| \geqslant 2$ 时，$M(a, b) \geqslant 2$； (2) 当 $a$，$b$ 满足 $M(a, b) \leqslant 2$ 时，求 $|a| + |b|$ 的最大值.