已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = \frac{1}{2}$ 且 $a_{n + 1} = a_n - a_n^2$（$n\in \mathbf{N}^*$）.

(1) 证明： $1 \leqslant \frac{a_n}{a_{n+1}} \leqslant 2$（$n \in \mathbf{N}^*$）； (2) 设数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，证明： $\frac{1}{2(n+2)} \leqslant \frac{S_n}{n} \leqslant \frac{1}{2(n+1)}$ （$n \in \mathbf{N}^*$）.