圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）. 双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$.

(1) 求 $C_1$ 的方程； (2) 椭圆 $C_2$ 过点 $P$ 且与 $C_1$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_2$ 的右焦点且与 $C_2$ 交于 $A$，$B$ 两点，若以线段 $AB$ 为直径的圆过点 $P$，求 $l$ 的方程.