已知抛物线 $x^{2} = 4y$ 的焦点为 $F$，$A$，$B$ 是抛物线上的两动点，且 $\overrightarrow{AF} = \lambda \overrightarrow{FB}$（$\lambda > 0$）. 过 $A$，$B$ 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 $M$.

(1) 证明 $\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{AB}$ 为定值. (2) 设 $\triangle ABM$ 的面积为 $S$，写出 $S = f(\lambda)$ 的表达式，并求 $S$ 的最小值.