已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^x$.

(1) 当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$，求 $a$ 的取值范围； (3) 设 $n\in \mathbf{N}^*$，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln(n+1)$.