设 $P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$，$P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$，$\cdots$，$P_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$（$n \geqslant 3$，$n \in \mathbf{N}$）是二次曲线 $C$ 上的点，且 $a_{1} = |OP_{1}|^{2}$，$a_{2} = |OP_{2}|^{2}$，$\cdots$，$a_{n} = |OP_{n}|^{2}$ 构成了一个公差为 $d$（$d \neq 0$）的等差数列，其中 $O$ 是坐标原点. 记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$.

(1) 若 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9} - y^2 = 1$，$n = 3$. 点 $P_{1}\left(3,0\right)$ 及 $S_{3} = 162$，求点 $P_{3}$ 的坐标；（只需写出一个） (2) 若 $C$ 的方程为 $y^{2} = 2px$（$p \neq 0$）. 点 $P_{1}\left(0,0\right)$，对于给定的自然数 $n$，证明： $(x_{1} + p)^{2}$，$(x_{2} + p)^{2}$，$\cdots$，$(x_{n} + p)^{2}$ 成等差数列； (3) 若 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）. 点 $P_{1}\left(a,0\right)$，对于给定的自然数 $n$，当公差 $d$ 变化时，求 $S_{n}$ 的最小值.