设函数 $f(x) = x - x \ln x$. 数列 $\{a_n\}$ 满足 $0 < a_1 < 1$，$a_{n+1} = f(a_n)$.

(1) 证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0, 1)$ 是增函数； (2) 证明：$a_{n}<a_{n+1}<1$； (3) 设 $b \in (a_1, 1)$，整数 $k \geqslant \frac{a_1 - b}{a_1 \ln b}$. 证明：$a_{k+1} > b$.