已知抛物线 $C$ 的顶点为 $O(0,0)$. 焦点为 $F(0,1)$.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程； (2) 过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. 若直线 $AO$，$BO$ 分别交直线 $l: y = x - 2$ 于 $M$，$N$ 两点，求 $|MN|$ 的最小值.