已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列，其前 $8$ 项和为 $64$. $\{b_n\}$ 是公比大于 $0$ 的等比数列，$b_1=4$，$b_3-b_2=48$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 记 $c_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}$，$n\in \mathbf{N}^*$，

(i) 证明 $\{c_n^2-c_{2n}\}$ 是等比数列； (ii) 证明 $\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2$（$n\in \mathbf{N}^*$）.

已知 $a>0$，函数 $f(x)=ax-x\mathrm{e}^x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left( 0,f(0) \right)$ 处的切线方程； (2) 证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点； (3) 若存在 $a$，使得 $f(x)\le a+b$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围.