在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 1$，$a_{n + 1} = c a_{n} + c^{n + 1}(2n + 1)$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），其中实数 $c \neq 0$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若对一切 $k \in \mathbf{N}^*$ 有 $a_{2k} > a_{2k-1}$，求 $c$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $b_n=\frac{a_n}{c^n}$. 由递推式得 $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{c^{n+1}}=\frac{a_n}{c^n}+2n+1=b_n+2n+1$，且 $b_1=\frac{1}{c}$. 因此 $b_n=\frac{1}{c}+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=\frac{1}{c}+n^2-1$，从而 $a_n=c^n b_n=c^{n-1}\left(c(n^2-1)+1\right)$. \item 由通项公式， 由于 $c^{2k-2}>0$，条件等价于 $D_k(c)>0$，其中 $D_k(c)=(4k^2-1)c^2+(-4k^2+4k+1)c-1$. 特别地，$D_1(c)=3c^2+c-1>0$，所以 $c<\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$ 或 $c>\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$. 另一方面，直接计算得 $D_k(c)=D_1(c)+4(k-1)c((k+1)c-k)$. 当 $c<\frac{-1-\sqrt{13}}{6}<0$ 时，后加项为正，故所有 $D_k(c)>0$. 当 $c\geqslant1$ 时，$D_1(c)>0$，且后加项非负，故所有 $D_k(c)>0$. 若 $0<c<1$，则 $D_k\frac{(c)}{(4k^2)}\to c^2-c<0$，故充分大的 $k$ 使 $D_k(c)<0$；若 $\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\leqslant c\leqslant0$，则 $D_1(c)\leqslant0$，也不满足严格不等式. 综上，$c$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup[1,+\infty)$. \end{enumerate} \end{solution}