设函数 $f(x)=x\sin x$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 证明 $f(x+2k\pi)-f(x)=2k\pi\sin x$，其中 $k$ 为整数； (2) 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极值点，证明 $\left[f(x_0)\right]^2=\dfrac{x_0^4}{1+x_0^2}$； (3) 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 $a_1$，$a_2$，$\ldots$，$a_n$，$\ldots$，证明 $\dfrac\pi2<a_{n+1}-a_n<\pi$（$n=1$，$2$，$\ldots$）.