在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 2$，$a_{n+1} = \lambda a_{n} + \lambda^{n+1} + (2 - \lambda)2^{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），其中 $\lambda > 0$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式. (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$. (3) 证明存在 $k \in \mathbf{N}^{*}$，使得 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 均成立.