已知函数 $f\left(x\right) = \ln\left(ax + 1\right) + \frac{1 - x}{1 + x}$，$x \geqslant 0$，其中 $a > 0$.

(1) 若 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $a$ 的值； (2) 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间； (3) 若 $f\left(x\right)$ 的最小值为 1，求 $a$ 的取值范围.

已知数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{1}{2}$，$x_{n + 1} = \frac{1}{1 + x_n}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 猜想数列 $\{x_{2n}\}$ 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： $\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\leqslant\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$.