已知数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{1}{2}$，$x_{n + 1} = \frac{1}{1 + x_n}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 猜想数列 $\{x_{2n}\}$ 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： $\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\leqslant\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$.