设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，$a_n = \frac{1}{3}(a_{n-1} + 2a_{n-2})$（$n = 3$，$4$，$\cdots$）. 数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1 = 1$，$b_n$（$n = 2$，$3$，$\cdots$）是非零整数，且对任意的正整数 $m$ 和自然数 $k$，都有 $-1 \leqslant b_m + b_{m+1} + \cdots + b_{m+k} \leqslant 1$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 若 $c_n = na_nb_n$（$n = 1$，$2$，$\dots$），求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.