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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
−
k
x
f(x) = \mathrm{e}^{x} - kx
f
(
x
)
=
e
x
−
k
x
，
x
∈
R
x \in \mathbf{R}
x
∈
R
.
(1) 若
k
=
e
k = \mathrm{e}
k
=
e
，试确定函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间； (2) 若
k
>
0
k > 0
k
>
0
，且对于任意
x
∈
R
x \in \mathbf{R}
x
∈
R
，
f
(
∣
x
∣
)
>
0
f(|x|) > 0
f
(
∣
x
∣
)
>
0
恒成立，试确定实数
k
k
k
的取值范围； (3) 设函数
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
F(x) = f(x) + f(-x)
F
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
，求证：
F
(
1
)
F
(
2
)
⋯
F
(
n
)
>
(
e
n
+
1
+
2
)
n
2
F(1)F(2)\cdots F(n) > (\mathrm{e}^{n+1} + 2)^{\frac{n}{2}}
F
(
1
)
F
(
2
)
⋯
F
(
n
)
>
(
e
n
+
1
+
2
)
2
n
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
2007 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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