如图，对每个正整数 $n$，$A_{n}(x_{n}, y_{n})$ 是抛物线 $x^{2} = 4y$ 上的点，过焦点 $F$ 的直线 $FA_{n}$ 交抛物线于另一点 $B_{n}(s_{n}, t_{n})$.

(1) 试证：$x_{n}s_{n} = -4$（$n \geqslant 1$）； (2) 取 $x_{n} = 2^{n}$，并记 $C_{n}$ 为抛物线上分别以 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 为切点的两条切线的交点. 试证：$|FC_1| + |FC_2| + \cdots + |FC_n| = 2^n - 2^{-n+1} + 1$.