已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F(0, c)$（$c > 0$）到直线 $l$：$x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. 设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA$，$PB$，其中 $A$，$B$ 为切点.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程； (2) 当点 $P(x_0, y_0)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $AB$ 的方程； (3) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值.