设 $a$ 为实数，设函数 $f(x) = a\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ 的最大值为 $g(a)$.

(1) 设 $t = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$，求 $t$ 的取值范围，并把 $f(x)$ 表示为 $t$ 的函数 $m(t)$； (2) 求 $g(a)$； (3) 试求满足 $g(a) = g\left(\frac{1}{a}\right)$ 的所有实数 $a$.