设函数 $f(x) = x - \ln (x + m)$，其中常数 $m$ 为整数.

(1) 当 $m$ 为何值时，$f(x) \geqslant 0$； (2) 定理：若函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $g(a)$ 与 $g(b)$ 异号，则至少存在一点 $x_0 \in (a, b)$，使 $g(x_0) = 0$. 试用上述定理证明：当整数 $m > 1$ 时，方程 $f(x) = 0$ 在 $[\mathrm{e}^{-m} - m, \mathrm{e}^{2m} - m]$ 内有两个实根.