已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，$\{b_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$a_{1} = b_{1}$，$a_{2} = b_{2} \neq a_{1}$，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1) 若 $b_{k} = a_{m}$（$m$，$k$ 是大于 $2$ 正整数），求证：$S_{k-1} = (m - 1)a_{1}$； (2) 若 $b_{3} = a_{i}$（$i$ 是某一正整数），求证：$q$ 是整数，且数列 $\{b_{n}\}$ 中每一项都是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项； (3) 是否存在这样的正数 $q$，使等比数列 $\{b_{n}\}$ 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 $q$ 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

已知 $a$，$b$，$c$，$d$ 是不全为零的实数，函数 $f(x) = bx^{2} + cx + d$，$g(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$. 方程 $f(x) = 0$ 有实数根，且 $f(x) = 0$ 的实数根都是 $g(f(x)) = 0$ 的根；反之，$g(f(x)) = 0$ 的实数根都是 $f(x) = 0$ 的根.

(1) 求 $d$ 的值； (2) 若 $a = 0$，求 $c$ 的取值范围； (3) 若 $a = 1$，$f(1) = 0$，求 $c$ 的取值范围.