已知 $a$，$b$，$c$，$d$ 是不全为零的实数，函数 $f(x) = bx^{2} + cx + d$，$g(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$. 方程 $f(x) = 0$ 有实数根，且 $f(x) = 0$ 的实数根都是 $g(f(x)) = 0$ 的根；反之，$g(f(x)) = 0$ 的实数根都是 $f(x) = 0$ 的根.

(1) 求 $d$ 的值； (2) 若 $a = 0$，求 $c$ 的取值范围； (3) 若 $a = 1$，$f(1) = 0$，求 $c$ 的取值范围.