设 $a$，$b\in\mathbf{R}$，数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+b$（$n\in\mathbf{N}^*$），则（ ）

如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$，$B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧. 记 $\triangle AFG$，$\triangle CQG$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$.

(1) 求 $p$ 的值及抛物线的准线方程； (2) 求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

已知实数 $a\neq0$，设函数 $f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}$，$x>0$.

(1) 当 $a=-\dfrac34$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}^2},+\infty\right)$ 均有 $f(x)\le\dfrac{\sqrt x}{2a}$，求 $a$ 的取值范围.

注：$\mathrm{e}=2.71828\ldots$ 为自然对数的底数.