设椭圆 $\frac{x^2}{m+1} + y^2 = 1$ 的两个焦点是 $F_{1}(-c,0)$ 与 $F_{2}(c,0)$（$c > 0$），且椭圆上存在一点 $P$，使得直线 $PF_{1}$ 与 $PF_{2}$ 垂直.

(1) 求实数 $m$ 的取值范围； (2) 设 $L$ 是相应于焦点 $F_{2}$ 的准线，直线 $PF_{2}$ 与 $L$ 相交于点 $Q$. 若 $\left|\frac{QF_{2}}{PF_{2}}\right| = 2 - \sqrt{3}$，求直线 $PF_{2}$ 的方程.