在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A$ 为椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 上一点，$F_1$，$F_2$ 分别为椭圆的左，右焦点.

(1) 若点 $A$ 的横坐标为 $2$，求 $\left|AF_1\right|$ 的长； (2) 设 $\Gamma$ 的上，下顶点分别为 $M_1$，$M_2$，记 $\triangle AF_1F_2$ 的面积为 $S_1$，$\triangle AM_1M_2$ 的面积为 $S_2$，若 $S_1\ge S_2$，求 $\left|OA\right|$ 的取值范围； (3) 若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，设直线 $AF_2$ 与 $\Gamma$ 交于点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $K$，$KF_1$ 延长线与 $\Gamma$ 交于点 $C$，是否存在 $x$ 轴上方的点 $C$，使得 $\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}+\overrightarrow{F_1C} =\lambda\left(\overrightarrow{F_2A}+\overrightarrow{F_2B}+\overrightarrow{F_2C}\right)$（$\lambda\in\mathbf{R}$） 成立？若存在，请求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由.