在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{3} + y^2 = 1$. 如图所示，斜率为 $k$ （$k > 0$）且不过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. 线段 $AB$ 的中点为 $E$. 射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $G$，交直线 $x = -3$ 于点 $D(-3, m)$.

(1) 求 $m^{2} + k^{2}$ 的最小值； (2) 若 $\left|OG\right|^{2}=\left|OD\right|\cdot\left|OE\right|$，

(i) 求证：直线 $l$ 过定点； (ii) 试问点 $B$，$G$ 能否关于 $x$ 轴对称？若能，求出此时 $\triangle ABG$ 的外接圆方程. 若不能，请说明理由.