已知双曲线 $\Gamma_1:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与圆 $\Gamma_2:x^2+y^2=4+b^2$（$b>0$）交于点 $A(x_A,y_A)$（第一象限），曲线 $\Gamma$ 为 $\Gamma_1$，$\Gamma_2$ 上取满足 $x>|x_A|$ 的部分.

(1) 若 $x_A=\sqrt6$，求 $b$ 的值； (2) 当 $b=\sqrt5$，$\Gamma_2$ 与 $x$ 轴交点记作点 $F_1$，$F_2$，$P$ 是曲线 $\Gamma$ 上一点，且在第一象限，且 $|PF_1|=8$，求 $\angle F_1PF_2$； (3) 过点 $D\left(0,\frac{b^2}{2}+2\right)$ 斜率为 $-\frac{b}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 只有两个交点，记为 $M$，$N$，用 $b$ 表示 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$，并求 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$ 的取值范围.