设椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1$ ($a > \sqrt{5}$), 点 $A$ 为 $\Gamma$ 的右顶点, 点 $M(0, m)$ ($m > 0$)。

(1) 若 $\Gamma$ 的一个焦点是 $(2, 0)$, 求 $\Gamma$ 的离心率;

(2) 设 $a = 4$, 椭圆 $\Gamma$ 上存在一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}$, 求 $m$ 的值;

(3) 若线段 $AM$ 的中垂线 $l$ 的斜率为 $2$, $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于 $C$、$D$ 两点, 且 $\angle CMD$ 为钝角, 求 $a$ 的取值范围。

对于曲线 $C$, 若存在点 $M$, 使得对任意的点 $P \in C$, 都存在 $Q \in C$, 且 $|PM| \cdot |QM| = 1$, 则称曲线 $C$ 为"自相关曲线".有以下结论: ① 任何椭圆都是"自相关曲线"; ② 存在双曲线是"自相关曲线".关于上述两个结论, 说法正确的是 （ ）

已知抛物线 $\Gamma: y^2 = 4x$, $A$ 为第一象限内 $\Gamma$ 上的一点, 设点 $A$ 的纵坐标为 $a$.

(1) 若点 $A$ 到 $\Gamma$ 的准线的距离为 $3$, 求 $a$ 的值;

(2) 若 $a = 4$, $B$ 为 $x$ 轴上的一点, 且线段 $AB$ 的中点在 $\Gamma$ 上, 求点 $B$ 的坐标及原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离;

(3) 直线 $l: x = -3$, $P$ 是第一象限内 $\Gamma$ 上异于点 $A$ 的动点, 直线 $AP$ 与 $l$ 交于点 $Q$, 点 $H$ 为点 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足 $|HQ| > 4$ 对任意的点 $P$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.