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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1），过 EE 的右焦点且与 xx 轴垂直的直线被 EE 截得的线段长为 2\sqrt{2}.
(1) 求 EE 的离心率； (2) 设 OO 为坐标原点，给定点 G(t,0)G\left( t,0 \right)（t≠0t\ne 0）. A(x0,y0)A\left( x_0,y_0 \right)（y0≠0y_0\ne 0）为 EE 上的点，过 AA 作 yy 轴的垂线，垂足为 BB，直线 OAOA 与直线 GBGB 的交点为 PP，当 AA 在 EE 上运动时，点 PP 的轨迹为 MM.
(i) 求 MM 的方程； (ii) 当 tt 为何值时，MM 有对称中心？当 MM 有对称中心时，将 MM 平移后得到曲线 M′M'，使得 OO 为 M′M' 的对称中心，说明 M′M' 是什么曲线.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left( p,0 \right). 过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3|MF|=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left(p,0\right)，过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3\lvert MF\rvert=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
抛物线 CC 的顶点为坐标原点 OO，焦点在 xx 轴上，直线 l:x=1l:x=1 交 CC 于 PP，QQ 两点，且 OP⊥OQOP\perp OQ. 已知点 M(2,0)M(2,0)，且 ⊙M\odot M 与 ll 相切.
(1) 求 CC，⊙M\odot M 的方程； (2) 设 A1A_1，A2A_2，A3A_3 是 CC 上的三个点，直线 A1A2A_1A_2，A1A3A_1A_3 均与 ⊙M\odot M 相切. 判断直线 A2A3A_2A_3 与 ⊙M\odot M 的位置关系，并说明理由.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10解析几何★★★★★
设直线 ll 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 相交于 AA，BB 两点，与圆 (x−5)2+y2=r2(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}（r>0r > 0）相切于点 MM，且 MM 为线段 ABAB 的中点. 若这样的直线 ll 恰有 44 条，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(1,3)(1, 3)
B.
(1,4)(1, 4)
C.
(2,3)(2, 3)
D.
(2,4)(2, 4)

2015 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a>b>0）的两个焦点分别为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，且椭圆 CC 经过点 P(43,13)P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right).
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 设过点 A(0,2)A(0,2) 的直线 ll 与椭圆 CC 交于 MM，NN 两点，点 QQ 是线段 MNMN 上的点，且 2∣AQ∣2=1∣AM∣2+1∣AN∣2\frac{2}{|AQ|^2} = \frac{1}{|AM|^2} + \frac{1}{|AN|^2}，求点 QQ 的轨迹方程.

2013 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，动点 MM 与两定点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0) 构成 △MAB\triangle MAB，且 ∠MBA=2∠MAB\angle MBA = 2\angle MAB，设动点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹 CC 的方程； (2) 设直线 y=−2x+my = -2x + m 与 yy 轴相交于点 PP，与轨迹 CC 相交于点 QQ，RR，且 ∣PQ∣<∣PR∣|PQ| < |PR|，求 ∣PR∣∣PQ∣\frac{|PR|}{|PQ|} 的取值范围.

2012 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
椭圆有两顶点 A(−1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，过其焦点 F(0,1)F(0,1) 的直线 ll 与椭圆交于 CC，DD 两点，并与 xx 轴交于点 PP. 直线 ACAC 与直线 BDBD 交于点 QQ.
(1) 当 ∣CD∣=322|CD| = \frac{3}{2}\sqrt{2} 时，求直线 ll 的方程. (2) 当点 PP 异于 AA，BB 两点时，求证：OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} 为定值.

2011 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知定点 A(−1,0)A(-1,0)，F(2,0)F(2,0)，定直线 l:x=12l: x = \frac{1}{2}，不在 xx 轴上的动点 PP 与点 FF 的距离是它到直线 ll 的距离的 22 倍. 设点 PP 的轨迹为 EE，过点 FF 的直线交 EE 于 BB，CC 两点，直线 ABAB，ACAC 分别交 ll 于点 MM，NN.
(1) 求 EE 的方程； (2) 试判断以线段 MNMN 为直径的圆是否过点 FF，并说明理由.

2010 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知定点 A(−1,0)A(-1,0)，F(2,0)F(2,0). 定直线 l:x=12l: x = \frac{1}{2}，不在 xx 轴上的动点 PP 与点 FF 的距离是它到直线 ll 的距离的 2 倍. 设点 PP 的轨迹为 EE；过点 FF 的直线交 EE 于 BB，CC 两点，直线 ABAB，ACAC 分别交 ll 于点 MM，NN.
(1) 求 EE 的方程； (2) 试判断以线段 MNMN 为直径的圆是否过点 FF，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知两定点 F1(−2,0)F_{1}(-\sqrt{2},0)，F2(2,0)F_{2}(\sqrt{2},0)，满足条件 ∣PF2→∣−∣PF1→∣=2\left|\overrightarrow{PF_2}\right| - \left|\overrightarrow{PF_1}\right| = 2 的点 PP 的轨迹是曲线 EE，直线 y=kx−1y = kx - 1 与曲线 EE 交于 AA，BB 两点. 如果 ∣AB→∣=63\left|\overrightarrow{AB}\right| = 6\sqrt{3}，且曲线 EE 上存在点 CC，使 OA→+OB→=mOC→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = m\overrightarrow{OC}，求 mm 的值和 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2006 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知两定点 F1(−2,0)F_{1}(-\sqrt{2},0)，F2(2,0)F_{2}(\sqrt{2},0)，满足条件 ∣PF2∣−∣PF1∣=2\left|PF_{2}\right| - \left|PF_{1}\right| = 2 的点 PP 的轨迹是曲线 EE，直线 y=kx−1y = kx - 1 与曲线 EE 交于 AA，BB 两点.
(1) 求 kk 的取值范围； (2) 如果 ∣AB∣=63\left|AB\right|=6\sqrt{3}，且曲线 EE 上存在点 CC，使 OA→+OB→=mOC→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}，求 mm 的值和 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2006 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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