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20解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c,0)，右顶点为 AA，点 EE 的坐标为 (0,c)(0,c)，△EFA\triangle EFA 的面积为 b22\dfrac{b^2}{2}.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设点 QQ 在线段 AEAE 上，∣FQ∣=32c|FQ|=\dfrac32c，延长线段 FQFQ 与椭圆交于点 PP，点 MM，NN 在 xx 轴上，PM∥QNPM\parallel QN，且直线 PMPM 与直线 QNQN 间的距离为 cc，四边形 PQNMPQNM 的面积为 3c3c.
(i) 求直线 FPFP 的斜率； (ii) 求椭圆的方程.

2017 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于点 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH. 若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA≤∠MAO\angle MOA\le\angle MAO，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2016 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−c,0)F(-c, 0)，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，点 MM 在椭圆上且位于第一象限，直线 FMFM 被圆 x2+y2=b24x^2 + y^2 = \frac{b^2}{4} 截得的线段的长为 cc，∣FM∣=433|FM| = \frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求直线 FMFM 的斜率； (2) 求椭圆的方程； (3) 设动点 PP 在椭圆上，若直线 FPFP 的斜率大于 2\sqrt{2}，求直线 OPOP（OO 为原点）的斜率的取值范围.

2015 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的上顶点为 BB，左焦点为 FF，离心率为 55\frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求直线 BFBF 的斜率； (2) 设直线 BFBF 与椭圆交于点 PP（PP 异于点 BB），过点 BB 且垂直于 BPBP 的直线与椭圆交于点 QQ（QQ 异于点 BB），直线 PQPQ 与 yy 轴交于点 MM，∣PM∣=λ∣MQ∣|PM| = \lambda |MQ|.
(i) 求 λ\lambda 的值； (ii) 若 ∣PM∣sin⁡∠BQP=759|PM| \sin \angle BQP = \frac{7\sqrt{5}}{9}，求椭圆的方程.

2015 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的两个焦点分别为 F1(−c,0)F_1(-c, 0) 和 F2(c,0)F_2(c, 0)（c>0c > 0），过点 E(a2c,0)E\left(\frac{a^2}{c}, 0\right) 的直线与椭圆相交于 AA，BB 两点，且 F1A∥F2BF_1A \parallel F_2B，∣F1A∣=2∣F2B∣|F_1A| = 2|F_2B|.
(1) 求椭圆的离心率. (2) 求直线 ABAB 的斜率. (3) 设点 CC 与点 AA 关于坐标原点对称. 直线 F2BF_{2}B 上有一点 H(m,n)H(m,n)（m≠0m \neq 0）在 △AF1C\triangle AF_{1}C 的外接圆上，求 nm\frac{n}{m} 的值.

2009 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的两个焦点分别为 F1(−c,0)F_1(-c,0) 和 F2(c,0)F_2(c,0)（c>0c > 0），过点 E(a2c,0)E\left(\frac{a^2}{c}, 0\right) 的直线与椭圆相交于 AA，BB 两点，且 F1A∥F2BF_1A \parallel F_2B，∣F1A∣=2∣F2B∣|F_1A| = 2|F_2B|.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 求直线 ABAB 的斜率； (3) 设点 CC 与点 AA 关于坐标原点对称，直线 F2BF_{2}B 上有一点 H(m,n)H(m, n)（m≠0m \neq 0）在 △AF1C\triangle AF_{1}C 的外接圆上，求 nm\frac{n}{m} 的值.

2009 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知中心在原点的双曲线 CC 的一个焦点是 F1(−3,0)F_{1}(-3,0)，一条渐近线的方程是 5x−2y=0\sqrt{5} x - 2y = 0.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 若以 kk（k≠0k \neq 0）为斜率的直线 ll 与双曲线 C 相交于两个不同的点 MM，NN，线段 MNMN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 812\frac{81}{2}，求 kk 的取值范围.

2008 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2，原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\dfrac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2}b. (2) 设 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}，过原点 OO 作直线 Q1Q2Q_{1}Q_{2} 的垂线 ODOD，垂足为 DD，求点 DD 的轨迹方程.

2007 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2. 原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\frac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2} b. (2) 求 t∈(0,b)t \in (0, b) 使得下述命题成立：设圆 x2+y2=t2x^{2} + y^{2} = t^{2} 上任意点 M(x0,y0)M(x_{0}, y_{0}) 处的切线交椭圆于 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 两点，则 OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}.

2007 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 52\frac{\sqrt{5}}{2}，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，MM 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 F1M→⋅F2M→=−14\overrightarrow{F_1M} \cdot \overrightarrow{F_2M} = -\frac{1}{4}.
(1) 求双曲线的方程； (2) 设 A(m,0)A(m,0) 和 B(1m,0)B\left(\frac{1}{m},0\right)（0<m<10 < m < 1）是 xx 轴上的两点，过点 AA 作斜率不为 00 的直线 ll，使得 ll 交双曲线于 CC，DD 两点，作直线 BCBC 交双曲线于另一点 EE. 证明：直线 DEDE 垂直于 xx 轴.

2006 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
椭圆的中心是原点 OO，它的短轴长为 222\sqrt{2}. 相应于焦点 F(c,0)F(c,0)（c>0c > 0）的准线 ll 与 xx 轴相交于点 AA，∣OF∣=2∣FA∣|OF| = 2|FA|. 过点 AA 的直线与椭圆相交于 PP，QQ 两点.
(1) 求椭圆的方程及离心率； (2) 若 OP→⋅OQ→=0\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0，求直线 PQPQ 的方程； (3) 设 AP→=λAQ→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AQ}（λ>1\lambda > 1），过点 PP 且平行于准线 ll 的直线与椭圆相交于另一点 MM，证明 FM→=−λFQ→\overrightarrow{FM} = -\lambda \overrightarrow{FQ}.

2004 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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