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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:x2=2pyC:x^2=2py（p>0p>0）的焦点为 FF，且 FF 与圆 M:x2+(y+4)2=1M:x^2+(y+4)^2=1 上点的距离的最小值为 44.
(1) 求 pp； (2) 若点 PP 在 MM 上，PAPA，PBPB 是 CC 的两条切线，AA，BB 是切点，求 △PAB\triangle PAB 面积的最大值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）过点 M(2,1)M(\sqrt{2}, 1). 且左焦点为 F1(−2,0)F_1(-\sqrt{2}, 0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 当过点 P(4,1)P(4,1) 的动直线 ll 与椭圆 CC 相交于两不同点 AA，BB 时，在线段 ABAB 上取点 QQ，满足 ∣AP→∣⋅∣QB→∣=∣AQ→∣⋅∣PB→∣\left|\overrightarrow{AP}\right| \cdot \left|\overrightarrow{QB}\right| = \left|\overrightarrow{AQ}\right| \cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|，证明：点 QQ 总在某定直线上.

2008 · 安徽 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，FF 为双曲线 CC：x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的右焦点，PP 为双曲线 CC 右支上一点，且位于 xx 轴上方，MM 为左准线上一点，OO 为坐标原点. 已知四边形 OFPMOFPM 为平行四边形，∣PF∣=λ∣OF∣|PF| = \lambda |OF|.
(1) 写出双曲线 CC 的离心率 ee 与 λ\lambda 的关系式； (2) 当 λ=1\lambda = 1 时，经过焦点 FF 且平行于 OPOP 的直线交双曲线于 AA，BB 点，若 ∣AB∣=12|AB| = 12，求此时的双曲线方程.

2006 · 安徽 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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