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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，且过点 A(2,1)A\left( 2,1 \right).
(1) 求 CC 的方程； (2) 点 MM，NN 在 CC 上，且 AM⊥ANAM\perp AN，AD⊥MNAD\perp MN，DD 为垂足. 证明：存在定点 QQ，使得 ∣DQ∣|DQ| 为定值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，焦距为 2.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 如图，该直线 l:y=k1x−32l:y=k_1x-\dfrac{\sqrt3}{2} 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，CC 是椭圆 EE 上的一点，直线 OCOC 的斜率为 k2k_2，且 k1k2=24k_1k_2=\dfrac{\sqrt2}{4}，MM 是线段 OCOC 延长线上一点，且 ∣MC∣:∣AB∣=2:3\lvert MC\rvert:\lvert AB\rvert=2:3，⊙M\odot M 的半径为 ∣MC∣\lvert MC\rvert，OSOS，OTOT 是 ⊙M\odot M 的两条切线，切点分别为 SS，TT，求 ∠SOT\angle SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 ll 的斜率.

2017 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，椭圆 CC 截直线 y=1y=1 所得线段的长度为 222\sqrt2.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 动直线 l:y=kx+ml:y=kx+m（m≠0m\ne0）交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，交 yy 轴于点 MM. 点 NN 是 MM 关于 OO 的对称点，⊙N\odot N 的半径为 ∣NO∣\lvert NO\rvert. 设 DD 为 ABAB 的中点，DEDE，DFDF 与 ⊙N\odot N 分别相切于点 EE，FF，求 ∠EDF\angle EDF 的最小值.

2017 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C ⁣:x2a2+y2b2=1C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率是 32\dfrac{\sqrt3}{2}，抛物线 E ⁣:x2=2yE\colon x^2=2y 的焦点 FF 是 CC 的一个顶点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是 EE 上的动点，且位于第一象限，EE 在点 PP 处的切线 ll 与 CC 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 DD，直线 ODOD 与过 PP 且垂直于 xx 轴的直线交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 在定直线上； (ii) 直线 ll 与 yy 轴交于点 GG，记 △PFG\triangle PFG 的面积为 S1S_1，△PDM\triangle PDM 的面积为 S2S_2，求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最大值及取得最大值时点 PP 的坐标.

2016 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的长轴长为 44，焦距为 222\sqrt2.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过动点 M(0,m)M(0,m)（m>0m>0）的直线交 xx 轴于点 NN，交 CC 于点 AA，PP（PP 在第一象限），且 MM 是线段 PNPN 的中点. 过点 PP 作 xx 轴的垂线交 CC 于另一点 QQ，延长线 QMQM 交 CC 于点 BB.
(i) 设直线 PMPM，QMQM 的斜率分别为 kk，k′k'，证明 k′k\dfrac{k'}{k} 为定值； (ii) 求直线 ABAB 的斜率的最小值.

2016 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，且点 (3,12)\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) 在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点为 FF，AA 为 CC 上异于原点的任意一点，过点 AA 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，交 xx 轴的正半轴于点 DD，且有 ∣FA∣=∣FD∣|FA| = |FD|. 当点 AA 的横坐标为 3 时，△ADF\triangle ADF 为正三角形.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若直线 l1∥ll_{1} \parallel l，且 l1l_{1} 和 CC 有且只有一个公共点 EE，
(i) 证明直线 AEAE 过定点，并求出定点坐标； (ii) △ABE\triangle ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2014 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，直线 y=xy = x 被椭圆 CC 截得的线段长为 4105\frac{4\sqrt{10}}{5}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过原点的直线与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点（AA，BB 不是椭圆 CC 的顶点）. 点 DD 在椭圆 CC 上，且 AD⊥ABAD \perp AB，直线 BDBD 与 xx 轴，yy 轴分别交于 MM，NN 两点.
(i) 设直线 BDBD，AMAM 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，证明存在常数 λ\lambda 使得 k1=λk2k_{1} = \lambda k_{2}，并求出 λ\lambda 的值； (ii) 求 △OMN\triangle OMN 面积的最大值.

2014 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别是 F1F_{1}，F2F_{2}，离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，过 F1F_{1} 且垂直于 xx 轴的直线被椭圆 CC 截得的线段长为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 点 PP 是椭圆 CC 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1PF_{1}，PF2PF_{2}. 设 ∠F1PF2\angle F_{1}PF_{2} 的角平分线 PMPM 交 CC 的长轴于点 M(m,0)M(m,0)，求 mm 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，过点 PP 作斜率为 kk 的直线 ll，使得 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点. 设直线 PF1PF_{1}，PF2PF_{2} 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，若 k≠0k \neq 0，试证明 1kk1+1kk2\frac{1}{kk_{1}} + \frac{1}{kk_{2}} 为定值，并求出这个定值.

2013 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 CC 的中心在原点 OO，焦点在 xx 轴上，短轴长为 2，离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) AA，BB 为椭圆 CC 上满足 △AOB\triangle AOB 的面积为 64\frac{\sqrt{6}}{4} 的任意两点，EE 为线段 ABAB 的中点，射线 OEOE 交椭圆 CC 于点 PP. 设 OP→=tOE→\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OE}，求实数 tt 的值.

2013 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，FF 是抛物线 C:x2=2pyC: x^2 = 2py （p>0p > 0） 的焦点，MM 是抛物线 CC 上位于第一象限内的任意一点，过 MM，FF，OO 三点的圆的圆心为 QQ，点 QQ 到抛物线 CC 的准线的距离为 34\frac{3}{4}.
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 是否存在点 MM，使得直线 MQMQ 与抛物线 CC 相切于点 MM？ 若存在，求出点 MM 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 若点 MM 的横坐标为 2\sqrt{2}，直线 l:y=kx+14l: y = kx + \frac{1}{4} 与抛物线 CC 有两个不同的交点 AA，BB，ll 与圆 QQ 有两个不同的交点 DD，EE，求当 12⩽k⩽2\frac{1}{2} \leqslant k \leqslant 2 时，∣AB∣2+∣DE∣2|AB|^2 + |DE|^2 的最小值.

2012 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知动直线 ll 与椭圆 C:x23+y22=1C: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1 交于 P(x1,y1)P(x_1, y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2, y_2) 两不同点，且 △OPQ\triangle OPQ 的面积 S△OPQ=62S_{\triangle OPQ} = \frac{\sqrt{6}}{2}. 其中 OO 为坐标原点.
(1) 证明： x12+x22x_1^2 + x_2^2 和 y12+y22y_1^2 + y_2^2 均为定值； (2) 设线段 PQPQ 的中点为 MM，求 ∣OM∣⋅∣PQ∣|OM| \cdot |PQ| 的最大值； (3) 椭圆 CC 上是否存在三点 DD，EE，GG，使得 S△DOE=S△ODG=S△OEG=62S_{\triangle DOE} = S_{\triangle ODG} = S_{\triangle OEG} = \frac{\sqrt{6}}{2}；若存在，判断 △DEG\triangle DEG 的形状；若不存在，请说明理由.

2011 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x23+y2=1C: \frac{x^2}{3} + y^2 = 1. 如图所示，斜率为 kk （k>0k > 0）且不过原点的直线 ll 交椭圆 CC 于 AA，BB 两点. 线段 ABAB 的中点为 EE. 射线 OEOE 交椭圆 CC 于点 GG，交直线 x=−3x = -3 于点 D(−3,m)D(-3, m).
(1) 求 m2+k2m^{2} + k^{2} 的最小值； (2) 若 ∣OG∣2=∣OD∣⋅∣OE∣\left|OG\right|^{2}=\left|OD\right|\cdot\left|OE\right|，
(i) 求证：直线 ll 过定点； (ii) 试问点 BB，GG 能否关于 xx 轴对称？若能，求出此时 △ABG\triangle ABG 的外接圆方程. 若不能，请说明理由.

2011 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点 F1F_1，F2F_2 为顶点的三角形的周长为 4(2+1)4(\sqrt{2} + 1). 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点. 设 PP 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1PF_1 和 PF2PF_2 与椭圆的交点分别为 AA，BB 和 CC，DD.
(1) 求椭圆和双曲线的标准方程； (2) 设直线 PF1PF_{1}，PF2PF_{2} 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，证明：k1⋅k2=1k_{1} \cdot k_{2} = 1； (3) 是否存在常数 λ\lambda，使得 ∣AB∣+∣CD∣=λ∣AB∣⋅∣CD∣|AB| + |CD| = \lambda |AB| \cdot |CD| 恒成立？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2010 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0） 过点 (1,22)\left(1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)，离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 PP 为直线 l:x+y=2l: x + y = 2 上且不在 xx 轴上的任意一点，直线 PF1PF_1 和 PF2PF_2 与椭圆的交点分别为 AA，BB 和 CC，DD，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 设直线 PF1PF_1，PF2PF_2 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2.
(i) 证明：1k1−3k2=2\frac{1}{k_1} - \frac{3}{k_2} = 2； (ii) 问直线 ll 上是否存在点 PP，使得直线 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的斜率 kOAk_{OA}，kOBk_{OB}，kOCk_{OC}，kODk_{OD} 满足 kOA+kOB+kOC+kOD=0k_{OA} + k_{OB} + k_{OC} + k_{OD} = 0？ 若存在，求出所有满足条件的点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2010 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）过 M(2,2)M(2, \sqrt{2})，N(6,1)N(\sqrt{6}, 1) 两点，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 EE 恒有两个交点 AA，BB，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？若存在，写出该圆的方程，并求 ∣AB∣|AB| 的取值范围；若不存在，说明理由.

2009 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，在平面直角坐标系中，已知向量 a=(mx,y+1)\boldsymbol{a} = (mx, y + 1)，向量 b=(x,y−1)\boldsymbol{b} = (x, y - 1)，a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，动点 M(x,y)M(x, y) 的轨迹为 EE.
(1) 求轨迹 EE 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状. (2) 已知 m=14m = \frac{1}{4}，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹 EE 恒有两个交点 AA，BB，且 OA⊥OBOA \perp OB（OO 为坐标原点），并求出该圆的方程. (3) 已知 m=14m = \frac{1}{4}，设直线 ll 与圆 C:x2+y2=R2C: x^2 + y^2 = R^2（1<R<21 < R < 2）相切于 A1A_1，且 ll 与轨迹 EE 只有一个公共点 B1B_1，当 RR 为何值时，∣A1B1∣\lvert A_1B_1\rvert 取得最大值？并求最大值.

2009 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，设抛物线方程为 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0），MM 为直线 y=−2py = -2p 上任意一点，过 MM 引抛物线的切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 求证：AA，MM，BB 三点的横坐标成等差数列； (2) 已知当 MM 点的坐标为 (2,−2p)(2, -2p) 时，∣AB∣=410|AB| = 4\sqrt{10}，求此时抛物线的方程； (3) 是否存在点 MM，使得点 CC 关于直线 ABAB 的对称点 DD 在抛物线 x2=2pyx^2 = 2py（p>0p > 0）上，其中，点 CC 满足 OC→=OA→+OB→\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}（OO 为坐标原点）. 若存在，求出所有适合题意的点 MM 的坐标；若不存在，请说明理由.

2008 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知曲线 C1:∣x∣a+∣y∣b=1C_1: \frac{|x|}{a} + \frac{|y|}{b} = 1（a>b>0a > b > 0）所围成的封闭图形的面积为 454\sqrt{5}，曲线 C1C_1 的内切圆半径为 253\frac{2\sqrt{5}}{3}. 记 C2C_2 为以曲线 C1C_1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(1) 求椭圆 C2C_{2} 的标准方程； (2) 设 ABAB 是过椭圆 C2C_{2} 中心的任意弦，ll 是线段 ABAB 的垂直平分线. MM 是 ll 上异于椭圆中心的点.
(i) 若 ∣MO∣=λ∣OA∣|MO| = \lambda |OA|（OO 为坐标原点），当点 AA 在椭圆 C2C_2 上运动时，求点 MM 的轨迹方程； (ii) 若 MM 是 ll 与椭圆 C2C_2 的交点，求 △AMB\triangle AMB 的面积的最小值.

2008 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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