已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|AB| = \sqrt{10}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$.

(i) 设 $P(m, n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (ii) 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的3倍，求 $|PQ|$ 的最大值.

在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $(0,\frac12)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$.

(1) 求 $W$ 的方程； (2) 已知矩形 $ABCD$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $ABCD$ 的周长大于 $3\sqrt3$.

如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$AB$ 是圆 $O$ 的直径）. 规划在公路 $l$ 上选两个点 $P$，$Q$，并修建两段直线型道路 $PB$，$QA$. 规划要求：线段 $PB$，$QA$ 上的所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径. 已知点 $A$，$B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C$，$D$ 为垂足），测得 $AB=10$，$AC=6$，$BD=12$（单位：百米）.

(1) 若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长； (2) 在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米），求当 $d$ 最小时，$P$，$Q$ 两点间的距离.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$. 已知点 $(1,e)$ 和 $\left(e,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设 $A$，$B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $AF_{1}$ 与直线 $BF_{2}$ 平行，$AF_{2}$ 与 $BF_{1}$ 交于点 $P$.

(i) 若 $AF_{1}-BF_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $AF_{1}$ 的斜率； (ii) 求证：$PF_{1}+PF_{2}$ 是定值.