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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x212+y2=1\frac{x^2}{12}+y^2=1. 设 AA，BB 是椭圆上异于 P(0,1)P(0,1) 的两点，且点 Q(0,12)Q\left(0,\frac12\right) 在线段 ABAB 上，直线 PAPA，PBPB 分别交直线 y=−12x+3y=-\frac12x+3 于 CC，DD 两点.
(1) 求点 PP 到椭圆上点的距离的最大值； (2) 求 ∣CD∣|CD| 的最小值.

2022 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知 FF 是抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，MM 为该抛物线准线与 xx 轴交点，且 ∣MF∣=2|MF|=2.
(1) 求抛物线方程； (2) 设过 FF 的直线交抛物线于 AA，BB，斜率为 22 的直线 ll 与直线 MAMA，MBMB，ABAB，xx 轴依次交于 PP，QQ，RR，NN，且 ∣RN∣2=∣PN∣⋅∣QN∣|RN|^2=|PN|\cdot|QN|，求直线 ll 在 xx 轴上的截距的范围.

2021 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

2020 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 F(1,0)F(1,0) 为抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，过点 FF 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，点 CC 在抛物线上，使得 △ABC\triangle ABC 的重心 GG 在 xx 轴上，直线 ACAC 交 xx 轴于点 QQ，且 QQ 在点 FF 右侧. 记 △AFG\triangle AFG，△CQG\triangle CQG 的面积分别为 S1S_1，S2S_2.
(1) 求 pp 的值及抛物线的准线方程； (2) 求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最小值及此时点 GG 的坐标.

2019 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 PP 是 yy 轴左侧（不含 yy 轴）一点，抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 上存在不同的两点 AA，BB 满足 PAPA，PBPB 的中点均在 CC 上.
(1) 设 ABAB 中点为 MM，证明：PMPM 垂直于 yy 轴； (2) 若 PP 是半椭圆 x2+y24=1x^2+\dfrac{y^2}{4}=1（x<0x<0）上的动点，求 △PAB\triangle PAB 面积的取值范围.

2018 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），动直线 ll 与椭圆 CC 只有一个公共点 PP，且点 PP 在第一象限.
(1) 已知直线 ll 的斜率为 kk，用 aa，bb，kk 表示点 PP 的坐标； (2) 若过原点 OO 的直线 l1l_{1} 与 ll 垂直，证明：点 PP 到直线 l1l_{1} 的距离的最大值为 a−ba - b.

2014 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知 △ABP\triangle ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4yC: x^2 = 4y 上，FF 为抛物线 CC 的焦点，点 MM 为 ABAB 的中点，PF→=3FM→\overrightarrow{PF} = 3\overrightarrow{FM}.
(1) 若 ∣PF∣=3|PF| = 3，求点 MM 的坐标； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积的最大值.

2014 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知抛物线 CC 的顶点为 O(0,0)O(0,0). 焦点为 F(0,1)F(0,1).
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 过点 FF 作直线交抛物线 CC 于 AA，BB 两点. 若直线 AOAO，BOBO 分别交直线 l:y=x−2l: y = x - 2 于 MM，NN 两点，求 ∣MN∣|MN| 的最小值.

2013 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，在直角坐标系 xOyxOy 中，点 P(1,12)P\left(1, \frac{1}{2}\right) 到抛物线 C:y2=2pxC: y^2 = 2px （p>0p > 0）的准线的距离为 54\frac{5}{4}. 点 M(t,1)M(t, 1) 是 CC 上的定点，AA，BB 是 CC 上的两动点，且线段 ABAB 被直线 OMOM 平分.
(1) 求 pp，tt 的值； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积的最大值.

2012 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，设 PP 为抛物线 C1:x2=yC_1: x^2 = y 上的动点，过点 PP 做圆 C2:x2+(y+3)2=1C_2: x^2 + (y + 3)^2 = 1 的两条切线，交直线 l:y=−3l: y = -3 于 AA，BB 两点.
(1) 求 C2C_{2} 的圆心 MM 到抛物线 C1C_{1} 准线的距离. (2) 是否存在点 PP，使线段 ABAB 被抛物线 C1C_1 在点 PP 处的切线平分，若存在，求出点 PP 的坐标；若不存在，请说明理由.

2011 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C1:y2a2+x2b2=1C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右顶点为 A(1,0)A(1,0)，过 C1C_1 的焦点且垂直长轴的弦长为 11.
(1) 求椭圆 C1C_1 的方程； (2) 设点 PP 在抛物线 C2:y=x2+hC_2:y=x^2+h（h∈Rh\in\mathbf{R}）上，C2C_2 在点 PP 处的切线与 C1C_1 交于点 MM，NN. 当线段 APAP 的中点与 MNMN 的中点的横坐标相等时，求 hh 的最小值.

2009 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知抛物线 C:x2=2pyC: x^{2} = 2py（p>0p > 0）上一个点 A(m,4)A(m,4) 到其焦点的距离为 174\frac{17}{4}.
(1) 求 pp 与 mm 的值； (2) 设抛物线 CC 上一点 PP 的横坐标为 tt（t>0t > 0），过 PP 的直线交 CC 于另一点 QQ，交 xx 轴于点 MM，过点 QQ 作 PQPQ 的垂线交 CC 于另一点 NN. 若 MNMN 是 CC 的切线，求 tt 的最小值.

2009 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知曲线 CC 是到点 P(−12,38)P\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right) 和到直线 y=−58y = -\frac{5}{8} 距离相等的点的轨迹. ll 是过点 Q(−1,0)Q(-1, 0) 的直线，MM 是 CC 上（不在 ll 上）的动点，AA，BB 在 ll 上，MA⊥lMA \perp l，MB⊥xMB \perp x 轴（如图）.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 求出直线 ll 的方程，使得 ∣QB∣2∣QA∣\frac{|QB|^{2}}{|QA|} 为常数.

2008 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A(1,0)A(1,0)，点 PP，QQ 在双曲线的右支上，点 M(m,0)M(m,0) 到直线 APAP 的距离为 1.
(1) 若直线 APAP 的斜率为 kk，且 ∣k∣∈[33,3]\left|k\right| \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]，求实数 mm 的取值范围； (2) 当 m=2+1m=\sqrt{2}+1 时，△APQ\triangle APQ 的内心恰好是点 MM，求此双曲线的方程.

2004 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A(1,0)A(1, 0)，点 PP，QQ 在双曲线的右支上，点 M(m,0)M(m, 0) 到直线 APAP 的距离为 11.
(1) 若直线 APAP 的斜率为 kk，且 ∣k∣∈[33,3]\left|k\right| \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]，求实数 mm 的取值范围； (2) 当 m=2+1m = \sqrt{2} + 1 时，△APQ\triangle APQ 的内心恰好是点 MM，求此双曲线的方程.

2004 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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