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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
一种作图工具如图 1 所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
一种作图工具如左图所示. OO 是滑槽 ABAB 的中点，短杆 ONON 可绕 OO 转动，长杆 MNMN 通过 NN 处铰链与 ONON 连接，MNMN 上的栓子 DD 可沿滑槽 ABAB 滑动，且 DN=ON=1DN=ON=1，MN=3MN=3. 当栓子 DD 在滑槽 ABAB 内作往复运动时，带动 NN 绕 OO 转动一周（DD 不动时，NN 也不动），MM 处的笔尖画出的曲线记为 CC. 以 OO 为原点，ABAB 所在的直线为 xx 轴建立如右图所示的平面直角坐标系.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 设动直线 ll 与两定直线 l1 ⁣:x−2y=0l_1\colon x-2y=0 和 l2 ⁣:x+2y=0l_2\colon x+2y=0 分别交于 PP，QQ 两点. 若直线 ll 总与曲线 CC 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ\triangle OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

2015 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 与 C2C_2 的中心在坐标原点 OO，长轴均为 MNMN 且在 xx 轴上，短轴长分别为 2m2m，2n2n（m>nm > n），过原点且不与 xx 轴重合的直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD，记 λ=mn\lambda = \frac{m}{n}，△BDM\triangle BDM 和 △ABN\triangle ABN 的面积分别为 S1S_1 和 S2S_2.
(1) 当直线 ll 与 yy 轴重合时，若 S1=λS2S_{1} = \lambda S_{2}，求 λ\lambda 的值； (2) 当 λ\lambda 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ll 使得 S1=λS2S_{1} = \lambda S_{2} 并说明理由.

2013 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 与 C2C_2 的中心在坐标原点 OO，长轴均为 MNMN 且在 xx 轴上，短轴长分别为 2m2m，2n2n（m>nm>n），过原点且不与 xx 轴重合的直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD，记 λ=mn\lambda=\frac{m}{n}，△BDM\triangle BDM 和 △ABN\triangle ABN 的面积分别为 S1S_1 和 S2S_2.
(1) 当直线 ll 与 yy 轴重合时，若 S1=λS2S_1=\lambda S_2，求 λ\lambda 的值； (2) 当 λ\lambda 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ll，使得 S1=λS2S_1=\lambda S_2？并说明理由.

2013 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 AA 是单位圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上的任意一点，ll 是过点 AA 与 xx 轴垂直的直线，DD 是直线 ll 与 xx 轴的交点，点 MM 在直线 ll 上，且满足 ∣DM∣=m∣DA∣|DM| = m|DA| （m>0m > 0 且 m≠1m \neq 1）. 当点 AA 在圆上运动时，记点 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求曲线 CC 的方程，判断曲线 CC 为何种圆锥曲线. 并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 kk 的直线交曲线 CC 于 PP，QQ 两点，其中 PP 在第一象限，它在 yy 轴上的射影为点 NN，直线 QNQN 交曲线 CC 于另一点 HH. 是否存在 mm，使得对任意的 k>0k > 0，都有 PQ⊥PHPQ \perp PH？ 若存在，求 mm 的值；若不存在，请说明理由.

2012 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
平面内与两定点 A1(−a,0)A_{1}(-a,0)，A2(a,0)A_{2}(a,0)（a>0a>0）连线的斜率之积等于非零常数 mm 的点的轨迹，加上 A1A_{1}，A2A_{2} 两点所成的曲线 CC 可以是圆、椭圆或双曲线.
(1) 求曲线 CC 的方程，并讨论 CC 的形状与 mm 值的关系； (2) 当 m=−1m=-1 时，对应的曲线为 C1C_1；对给定的 m∈(−1,0)∪(0,+∞)m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)，对应的曲线为 C2C_2. 设 F1F_1，F2F_2 是 C2C_2 的两个焦点. 试问：在 C1C_1 上，是否存在点 NN，使得 △F1NF2\triangle F_1NF_2 的面积 S=∣m∣a2S=|m|a^2？若存在，求 tan⁡∠F1NF2\tan\angle F_1NF_2 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面内与两定点 A1(−a,0)A_{1}(-a,0)，A2(a,0)A_{2}(a,0)（a>0a > 0） 连线的斜率之积等于非零常数 mm 的点的轨迹，加上 A1A_{1}，A2A_{2} 两点所成的曲线 CC 可以是圆、椭圆或双曲线.
(1) 求曲线 CC 的方程，并讨论 CC 的形状与 mm 值的关系； (2) 当 m=−1m = -1 时，对应的曲线为 C1C_1；对给定的 m∈(−1,0)∪(0,+∞)m \in (-1,0) \cup (0,+\infty)，对应的曲线为 C2C_2. 设 F1F_1，F2F_2 是 C2C_2 的两个焦点. 试问：在 C1C_1 上，是否存在点 NN，使得 △F1NF2\triangle F_1NF_2 的面积 S=∣m∣a2S = |m|a^2？若存在，求 tan⁡∠F1NF2\tan \angle F_1NF_2 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设 AA，BB 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左，右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x=4x = 4 为它的右准线.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 PP 为右准线上不同于点 (4,0)(4,0) 的任意一点. 若直线 APAP，BPBP 分别与椭圆相交于异于 AA，BB 的点 MM，NN，证明点 BB 在以 MNMN 为直径的圆内.

2006 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设 AA，BB 是椭圆 3x2+y2=λ3x^{2} + y^{2} = \lambda 上的两点，点 N(1,3)N(1,3) 是线段 ABAB 的中点，线段 ABAB 的垂直平分线与椭圆相交于 CC，DD 两点.
(1) 确定 λ\lambda 的取值范围，并求直线 ABAB 的方程； (2) 试判断是否存在这样的 λ\lambda，使得 AA，BB，CC，DD 四点在同一个圆上，并说明理由.

2005 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 AA、BB 是椭圆 3x2+y2=λ3x^{2} + y^{2} = \lambda 上的两点，点 N(1,3)N(1,3) 是线段 ABAB 的中点，线段 ABAB 的垂直平分线与椭圆相交于 CC、DD 两点.
(1) 确定 λ\lambda 的取值范围，并求直线 ABAB 的方程； (2) 试判断是否存在这样的 λ\lambda，使得 AA、BB、CC、DD 四点在同一个圆上？并说明理由.

2005 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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